Vestibular · Matemática · 8 min
Álgebra: equações, inequações e sistemas
Resolver uma equação é descobrir o valor que torna a igualdade verdadeira. Com as mesmas operações dos dois lados, dá para resolver equações do 1º grau, inequações, sistemas simples e equações como x² = 25.
Equação do 1º grau
A ideia é isolar x. O que se faz de um lado da igualdade deve ser feito do outro: somar, subtrair, multiplicar ou dividir pelo mesmo número.
Quando houver parênteses, aplique a distributiva antes: 3(x + 2) = 3x + 6.
- 5x − 3 = 22 → 5x = 25 → x = 5.
- Problema: quatro canetas iguais e um caderno de R$ 12,00 custam R$ 32,00 → 4x + 12 = 32 → x = 5.
Inequação
Resolve-se como a equação, mas o resultado é um intervalo. Exemplo: 3x + 1 > 10 → 3x > 9 → x > 3.
Atenção: ao multiplicar ou dividir os dois lados por número negativo, o sinal da desigualdade inverte. −2x > 6 → x < −3.
Sistema linear com duas equações
Pelo método da adição, somam-se as equações para eliminar uma incógnita. Pelo método da substituição, isola-se uma incógnita e substitui-se na outra equação.
Exemplo: x + y = 12 e x − y = 4. Somando: 2x = 16 → x = 8. Substituindo: y = 4.
x² e raiz quadrada
A equação x² = 25 tem duas soluções reais: x = 5 e x = −5, porque os dois números elevados ao quadrado dão 25.
Já o símbolo √ indica a raiz não negativa. Por isso √(x²) = |x| (o módulo de x), e não simplesmente x. Exemplo: √((−3)²) = √9 = 3.
Equação com parâmetro
Em (k − 3)x = k² − 9, é preciso analisar o coeficiente. Se k ≠ 3, divide-se por (k − 3): x = (k² − 9)/(k − 3) = k + 3.
Se k = 3, a equação vira 0x = 0, verdadeira para qualquer x: há infinitas soluções.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Resolva 3(x − 2) + 5 = 2x + 4.
Ver resolução
- Distributiva: 3x − 6 + 5 = 2x + 4 → 3x − 1 = 2x + 4.
- Passe os termos com x para um lado: 3x − 2x = 4 + 1 → x = 5.
- Confira: 3(5 − 2) + 5 = 14 e 2·5 + 4 = 14.
Resposta: x = 5
Exemplo 2
Resolva −3x + 6 ≤ 0.
Ver resolução
- −3x ≤ −6.
- Dividindo por −3, o sinal inverte: x ≥ 2.
Resposta: x ≥ 2
Erros comuns
- Não inverter o sinal da inequação ao dividir por número negativo.
- Dizer que x² = 25 tem só a solução x = 5.
- Escrever √(x²) = x para qualquer x real.
- Errar o sinal ao trocar um termo de lado da igualdade.
Resumo para revisar
- Faça a mesma operação dos dois lados para isolar x.
- Inequação: dividir por negativo inverte o sinal.
- Sistema: some ou substitua para eliminar uma incógnita.
- x² = k (k > 0) tem duas soluções: ±√k.
- √(x²) = |x|.
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Questões do banco do NabuLab sobre Álgebra. Responda antes de abrir a resposta.
Questão 1 · Iniciante
Em uma papelaria, três cadernos de mesmo preço e uma caneta de R$ 5,00 custam juntos R$ 26,00. Qual é o preço de cada caderno?
- AR$ 5,00
- BR$ 6,00
- CR$ 7,00
- DR$ 10,00
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Resposta: R$ 7,00
Se x é o preço de um caderno, então 3x + 5 = 26. Assim, 3x = 21 e x = 7.
Questão 2 · Médio
Qual é o valor de x na equação 3x + 5 = 20?
- A3
- B4
- C6
- D5
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Resposta: 5
Subtraindo 5 dos dois lados: 3x = 15. Dividindo ambos os lados por 3, obtemos x = 5.
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